数列的相关知识在高中数学教学中占有相当重要的位置,正确而熟练地掌握数列的性质对于解决数列问题有很大的帮助。
关键词:数列;性质;运用
1. 对于等差数列{an},任意两项an、am的关系是:an=am+(n-m)d或am=an+(m-n)d
例:{an}为等差数列,已知a5=2,a3=1,求通项公式
解法一:∵an=a1+(n-1)d
∴a5=a1+4d=2
a3=a1+2d=1
解得a1=0,d=12
∴an=a1+(n-1)d=12(n-1)
解法二:由等差数列性质可得:
a5=a2+2d
而a5=2,a3=1
∴2d=1,d=12
∴an=a5+(n-5)d=2+12(n-5)=12(n-1)
第二种方法方便、快捷,而第二种方法恰恰是运用了等差数列的性质。
2. 对于等差数列{an}来说,如果m+n=p+q(m、n、p、q都是正整数),那么就有am+an=ap+aq
例:{an}为等差数列,已知a3=5,a17=11,求s19=?
解法一:根据题意可得:
a3=a1+2d=5………1
a17=a1+16d=11……2
②-①:14d=6,d=37
a1=297
∵sn=na1+n(n-1)d2
∴s19=19a1+19(19-1)d2
=19×297+19×182×37
=5517+5137=10647=152
解法二:
∵{an}为等差数列
∴sn=n(a1+an)2
s19=19(a1+a19)2=19(a3+a17)2=19(5+11)2=19×8=152
很显然解法二非常快捷,计算量小。
3. {an}为等比数列,sn为其前n项和,则有:sm,s2m-sn,s3m-s2m也成等比数列
例:已知等比数列{an}的前m项和sm=10,前2m的和s2m=10,求s3m=?
解法一:①假设公比q=1时,sm=ma1=10,s2m=2ma2=30
显然是矛盾的,因此公比q=1是错误的
②公比q≠1,sm=a1(1-qm)1-q=10①
s2m=a1(1-q2m)1-q=10②
②÷①:1+qm=3qm=2
由①和qm=2可得:a11-q=-10
因此s3m=a1(1-q3m)1-q
=a1(1-qm)(1+qm+q2m)1-q
=10×(1-2)(1+2+4)
=10×7
=70
解法二:∵{an}是等比数列
∴sm,s2m-sm,s3m-s2m
即10,20,s3m-30也成等比数列
∴10(s3m-30)=202
∴s3m-30=40
s3m=70
两种解法一对照,第二种方法太简便了。
综上所述,数列性质的灵活运用的确可以达到简捷运算,化难为易的目的。